Thursday, July 5, 2012

Risiko dan Return Portofolio dengan Tiga Aset atau Lebih




Sejauh ini kita membicarakan portofolio dengan dua aset. Misalkan kita mempunyai portofolio yang terdiri dari tiga aset. Bagaimana menghitung return dan risiko portofolio tersebut? Perhitungan return dan risiko portofolio dengan tiga aset pada dasarnya sama dengan perhitungan untuk dua aset. Return portofolio, sama dengan sebelumnya, dihitung berdasarkan rata-rata tertimbang return individualnya. Risiko portofolio dengan tiga aset akan nampak lebih kompleks (panjang) dibandingkan dengan risiko portofolio dengan dua aset. 
Lebih spesifik lagi, misalkan kita mempunyai portofolio dengan tiga aset dengan informasi return yang diharapkan, deviasi standar, dan koefisien korelasi antara ketiganya adalah sebagai berikut ini.

Tabel 5. Return Yang Diharapkan, Risiko, dan Korelasi Untuk Tiga Aset X, Y, dan Z
Aset
E(R)
s
Proporsi
X
10%
12%
40%
Y
15%
17%
40%
Z
20%
22%
20%

Aset
X
Y
Z
X
1
-0,2
0,3
Y

1
0,4
Z


1


Proporsi (bobot) untuk masing-masing aset dalam portofolio tersebut adalah: A:40%, B:40%, dan C:20%. Return portofolio dihitung sebagai rata-rata tertimbang dari return individualnya, seperti terlihat berikut ini.

E(RP) = WX E(RX) +  WY E(RY)  +  WZ E(RZ)                                                .............. (8)

E(RP) = (0,4 x 10) + (0,4 x 15) + (0,2 x 20) = 14% 

Risiko portofolio tersebut bisa dituliskan sebagai berikut ini.

sP=  WX2sX2  +  WY2sY2  +  WZ2sZ2  +  2 WXWYsXY + 2 WXWZsXZ + 2 WYWZsYZ     ...(9)

Perhatikan bahwa risiko tersebut di-ekspansi (dikembangkan) dari rumus risiko untuk dua aset. Karena ada tiga aset, maka kita perlu menghitung varians untuk aset ketiga, dan kovarians antara aset X dengan Y, Y dengan Z, dan X dengan Z. Karena kovarians antara dua aset sama dengan korelasi dikalikan deviasi standar masing-masing aset (lihat rumus (7)), maka perhitungan varians portofolio tersebut bisa dihitung sebagai berikut ini.

sP=    (0,4)2(12)2 + (0,4)2(17)2  + (0,2)2(22)2  
+ 2 (0,4)(0,4)(-0,2×12x17) + 2 (0,4)(0,2)(0,3×17 ×22) + 2 (0,4)(0,2)(0,4×17×22)
sP=    23.04 + 46.24 + 19.36 + (-13.056) + 17.952 + 23.936  = 117.472
sP=    (117,47)1/2 = 10.84%

Bagaimana perhitungan return dan risiko portofolio yang terdiri dari 4,5, atau 1.000 aset? Return yang diharapkan bisa dihitung sebagai rata-rata tertimbang dari return individualnya. Risiko dihitung dengan memperluas rumus risiko (5) di muka. Semakin banyak aset dalam portofolio, semakin panjang rumus risiko tersebut. Bagan berikut ini membantu mem-visualisasi (menggambarkan) rumus risiko portofolio.

Bagan 4. Visualisasi Risiko Portofolio

                             W1 s1                  W2 s2                 W3 s3                                                WN sN
W1 s1
 
 

W12 s12


W1 W2 s12

W1 W3 s13

.......

W1 WN s1N
W2s2
 

W2 W1 s21

W22 s22


W2 W3 s23

........


W2 WN s2N
W3 s3
 

W3 W1 s31

W3 W2 s32

W32 s32


.......

W3 WN s3N
 ……
 

...........

..........

...........

………


.........
WNsN
 

WNW1 sN1

WN W2 sN2

WN W3 sN3

.........

WN2 sN2


Varians portofolio bisa dituliskan sebagai berikut ini.

sP=   ∑ Xi2 si2   +   ∑ ∑ Xi Xj sij                      i ≠ j                                          ………. (10)
                 i                              i    j

dimana                       
sP2         = varians portofolio 
Xi        = proporsi untuk aset i
si2        = varians aset i
∑ ∑      = penjumlahan ganda
sij           = kovarians aset i dengan aset j         
i ≠ j      = menunjukkan bahwa kovarians i dengan j adalah untuk dua aset yang berbeda

Sebagai ilustrasi, misal portofolio terdiri dari tiga aset. Risiko portofolio tersebut terdiri dari dua komponen, yaitu:

(1) varians return aset
(2) kovarians return antar aset

Sebagai contoh, jika portofolio terdiri dari tiga aset, maka kita perlu melakukan perhitungan:

(1) tiga varians (W12s12, W22s22, W32s32),  dan
(2) enam kovarians (W1W2s12, W1W3s13, W2W3s12, W2W1s21, W3W1s31, W3W2s32)

Karena s12 = s21, s23 = s32, s31 = s13, maka sebenarnya kita hanya perlu menghitung tiga kovarians. Dengan demikian jumlah parameter yang perlu dihitung adalah:

N varians + [ { (N – 1)×N}/2 ] kovarians
ó { 2N/2 + (N2 – N)/2 }
ó { N2 + N }/2

Jika kita mempunyai portofolio dengan tiga aset, maka parameter yang perlu kita hitung jika kita ingin menghitung risiko portofolio tersebut, adalah:

{ N2 + N }/2 = { 32 + 3 }/ 2 = 6 parameter, yang terdiri dari:
(1) 3 varians dan
(2) {(N – 1) x N}/2 atau ((3 – 1) x 3) /2 = 3 kovarians

Bagaimana jika kita mempunyai portofolio yang terdiri dari saham yang listing di Bursa Efek Jakarta, yang jumlahnya mencapai 300? Bagaimana jika portofolio kita terdiri dari aset yang ada di New York Stock Exchange yang berjumlah 2.000?

300 aset dalam portofolio:      { 3002 + 300 }/ 2 = 45.150 parameter
2.000 aset dalam portofolio:   { 2.0002 + 2.000 }/ 2 = 2.001.000 parameter


Perhatikan bahwa jumlah parameter yang harus dihitung meningkat tajam dengan semakin banyaknya aset dalam portofolio. Terlalu banyaknya parameter yang harus dihitung tersebut menimbulkan masalah, karena biaya pemrosesan menjadi sangat besar. Model Markowitz tersebut dikembangkan pada tahun 1950-an, dimana komputer pada waktu itu masih sangat terbatas kemampuannya. Karena itu model Markowitz menjadi tidak praktis. Disamping itu, model Markowitz juga mempunyai masalah karena biasanya analis diorganisir berdasarkan sektor (industri). Biasanya analis melakukan spesialisasi berdasarkan sektor usaha. Sebagai contoh, analis industri perbankan akan memfokuskan pada bank-bank, karakteristik bank, kaitannya dengan perekonomian makro, dan semacamnya. Analis tersebut tidak banyak memperhatikan sektor lainnya. Karena itu dia tidak akan begitu memahami kaitan satu perusahaan (saham) dengan perusahaan lainnya yang berbeda sektor usahanya. Padahal model Markowitz mengharuskan kita untuk mengestimasi kovarians (keterkaitan) antar saham, termasuk saham antar sektor. Dengan struktur semacam itu, para analis tidak bisa atau kesulitan untuk mengestimasi keterkaitan (kovarians) antar saham. Karena permasalahan semacam itu Model Markowitz memerlukan waktu yang lama untuk berkembang dan bisa diaplikasikan. Dibutuhkan waktu sekitar 10 tahun, sebelum akhirnya muncul model indeks tunggal yang bisa digunakan untuk menyederhanakan model Markowitz. Model indeks tunggal tersebut dibicarakan pada bab di belakang.

No comments:

Post a Comment